LE FRAZIONI

Concetto di frazione.

Se dividiamo una striscia di carta in 2 parti uguali e ne prendiamo una, diciamo di prendere la metà della striscia.

1 : 2 = ½ = una metà

Se dividiamo la striscia in 3 parti uguali e ne prendiamo una, diciamo di prendere un terzo della striscia.

1 : 3 = ⅓= un terzo

Se dividiamo la striscia in 4 parti uguali e ne prendiamo una, diciamo di prendere un quarto della striscia.

1 : 4 = ¼ = un quarto, e così di seguito.

Se dividiamo una unità intera in parti uguali, ogni parte uguale si chiama unità frazionaria.

Perciò : ½, ⅓, ¼ sono unità frazionarie.

Frazionare significa dividere in  parti uguali.

Se dividiamo una striscia in 4 parti uguali e ne prendiamo 3, diciamo di prendere  i tre quarti della striscia.

¼ + ¼ + ¼ = ¾ = tre quarti.

L’unione di due o più unità frazionarie si chiama frazione.

Perciò : ¾ è una frazione.

Ogni frazione è formata da due numeri separati da una linea di frazione.

Il numero sotto la lineetta si dice denominatore ed indica in quante parti uguali è stata divisa l’unità.

Il numero sopra la lineetta si dice numeratore ed indica quante di queste parti si sono prese.

5 numeratore

-------- linea di frazione

9 denominatore

Perciò : aver ricevuto i 5/9 di una somma vuol dire che la somma è stata divisa in 9 parti uguali e che se ne sono ricevute cinque.

Frazioni decimali e ordinarie

Le frazioni, secondo la loro forma, si distinguono in decimali e ordinarie.

Si dice decimale una frazione che ha per denominatore 10, 100, 1000, ecc.

5/10; 17/100; 39/1000; 25/10000 sono frazioni decimali.

Le frazioni non decimali si dicono ordinarie.

5/11; 17/101; 39/1450; 25/12731 sono frazioni ordinarie.

• 1ª regola. Per trasformare una frazione decimale in un numero decimale, si divide il numeratore per il denominatore.

Esempio: 5/10 = 5 : 10 = 0,5.

• 2ª regola. Per trasformare un numero decimale in una frazione decimale, si mette come numeratore tutto il numero decimale senza la virgola e come denominatore l’unità seguita da tanti zeri quante sono le cifre decimali.

Esempio: 6,75 = 675/100

Frazioni proprie, apparenti, improprie

La frazione si può considerare come una divisione indicata.

Il numeratore corrisponde al dividendo, il denominatore al divisore.

Esempio: 3/8 = 3 : 8.

Se eseguiamo la divisione, troviamo il valore della frazione.

Esempio: 3/8 = 3 : 8 : 0,375 valore della frazione.

Le frazioni, secondo il loro valore, si dividono in proprie, apparenti e improprie.

Si dice propria una frazione il cui valore è minore della unità intera.

Nella frazione propria il numeratore è sempre più piccolo del denominatore.

Esempio: ¾ = 3 : 4 = 0,75.

Perciò: sono frazioni proprie ¾, 5/8, 2/5.

Si dice apparente una frazione il cui valore è esattamente uguale a una o più unità intere.

Nella frazione apparente il numeratore è uguale al denominatore o lo contiene un numero esatto di volte.

Esempio: 8/8= 8 : 8 = 1 14/7 = 14 : 7 = 2

Perciò: 8/8 e 14/7 sono frazioni apparenti.

• 1ª regola. Per trasformare una frazione apparente in un numero intero si esegue la divisione indicata.

Esempio: 54/9 = 54 : 9 = 6 180/6 = 180 : 6 = 30

Praticamente il 6 e il 30 sono unità intere.

• 2ª regola. Per trasformare un numero intero in una frazione apparente, si moltiplica il numero per il denominatore scelto e si mette il prodotto come numeratore.

Esempio: 8 = 8 x 3 = 24 9 = 9x5 = 45

3 3 5       5

Si dice impropria una frazione il cui valore è maggiore dell’unità intera.

Nella frazione impropria il numeratore è sempre più grande, ma non multiplo, del denominatore.

Esempio: 13/8 = 13 : 8 = 1,625 11/4 = 11 : 4 = 2,75

Perciò: 13/8 e 11/4 sono frazioni improprie.

Una frazione impropria equivale ad un numero misto, ad un numero cioè formato da unità intere e da unità frazionarie.

Esempio: 13/4=4/4+4/4+4/4+1/4 = 1+1+1+1/4=3+1/4.

• 3ª regola. Per trasformare una frazione impropria in un numero misto, si divide il numeratore per il denominatore: il quoziente sarà la parte intera, il resto sarà il numeratore della parte frazionaria.

Esempio: 17/3 = 17 : 3 = 5 + 2/3 15/4 = 15 : 4 = 3 + ¾

• 4ª regola. Per trasformare un numero misto in frazione impropria, si moltiplica il numero intero per il denominatore della frazione, si aggiunge al prodotto il numeratore e alla somma ottenuta si dà per denominatore quello della frazione.

Esempio: 3+5/8 = 3x8+5 = 29 5 + ¾=5x4+3 = 23

8         8 4         4

La frazione complementare

Se ho consumato i 3/8 dello stipendio, che parte me ne resta?

Lo stipendio è diviso in 8 parti uguali. Ogni parte è 1/8.

Tutto lo stipendio è 8/8. se ne ho speso 3/8, me ne restano 5/8.

5/8 è la frazione complementare di 3/8.

Si dice frazione complementare quella frazione che manca ad una frazione propria  per avere l’unità intera.

Infatti: unendo alla frazione 3/8 la frazione 5/8 otteniamo 8/8, cioè l’unità intera.

Così pure: la frazione complementare di 7/12 è 5/12.

Poiché 7/12 + 5/12 + 7 + 5 = 12/12 = 12 : 12 = 1.

12

Problemi sulle frazioni

• 1° Conosco l’intero, cerco la parte frazionaria.

Problema. Un addetto guadagna per straordinario alla settimana euro 8.400 e ne spende i 5/8 per necessità personali.

Quanto spende?

- Divido la somma per 8 e  trovo 1/8 di euro 8.400.

euro (8.400 : 8) = euro 1.050.

Moltiplico un ottavo per 5  e trovo 5/8 di euro 8.400.

euro (1.050 x 5) =  euro 5.250.

Risposta : Spende euro 5.250.

Regola. Per calcolare la frazione di un numero, si divide il numero per il denominatore e si moltiplica il risultato per il numeratore.

• 2° Conosco la parte frazionaria e cerco l’intero.

Problema. Il magazziniere ha consegnato 144 abiti, cioè i 3/5 di quelle in deposito. Quanti erano in tutto gli abiti?

- Divido i 144 abiti per 3 e trovo 1/5 di 144 – (144:3) = 48.

Moltiplico un quinto per 5 e trovo 5/5, cioè l’intero. (48 x 5) = 240.

Regola. Per calcolare un intero del quale si conosca una parte frazionaria, si divide il numero che rappresenta la parte frazionaria per il numeratore e si moltiplica il risultato per il denominatore.

LA DIVISIONE

La divisione è l’operazione aritmetica che permette di dividere un numero in tante parti uguali, oppure di trovare quante volte un numero contiene un altro numero.

Il primo numero si dice dividendo, il secondo divisore.

Il dividendo ed il divisore sono i termini della divisione.

Il risultato si dice quoto o quoziente.

Si dice quoto, quando l’operazione non dà resto; si chiama quoziente, quando l’operazione dà un resto.

Esempio: 63 : 7 = 9 quoto perché 9x7=63;

65 : 7 = 9 quoziente  con resto 2.

Il resto deve essere sempre minore del divisore.

La prova si esegue moltiplicando il quoto o il quoziente per il divisore e aggiungendo al prodotto il resto, se c’è.

Divisione Prova

dividendo divisore quoziente 3,45 x

79,54 : 23 = 3,45 23=

105                                                                       1035

134 690

---------

19 resto 79,35+

19=

----------

79,35

Ricorda che la parentesi è il segno aritmetico che serve appunto per indicare il risultato di una operazione non ancora eseguita.

Esempio: € (540:12) = € 45.

Divisioni col divisore decimale.

Quando il divisore è decimale, lo si rende intero, moltiplicandolo per 10,, 100, 1000, ecc., però perché il quoto non cambi, bisogna moltiplicare per 10, 100, 1000, ecc. anche il dividendo.

Esempio: 23,7 : 2,4 = (23,7x10) : (2,4x10) = 237:24

Praticamente non si considerano  le virgole.

Divisione col divisore che termina per zeri.

Quando il divisore termina con zeri, si può semplificare il calcolo, dividendo sia il divisore, sia il dividendo per 10 o 100 o 1000, ecc.

Esempio: 87.190:900 = (87.190:100) : (900:100) = 871,9:9

Divisione per 10, per  100, per 1000, ecc.

Per dividere un numero intero per 10, per 100, per 1000, ecc. si separano con la virgola, cominciando da destra, tante cifre quanti sono gli zeri del divisore. Se le cifre del dividendo non bastano, si mettono degli zeri.ù

Esempio: 345:100 = 3,45 – 1350:100.000 = 0,01350

Per dividere un numero decimale per 10, per 100, per 1000, ecc. si sposta la virgola verso sinistra di tanti posti, quanti sono gli zeri del divisore. Se le cifre del dividendo non bastano, si mettono degli zeri.

Esempio: 36,15:1000 = 0,03615 – 3,02:10.000 = 0,000302

La percentuale

Compro dei libri che costano € 100,00 ciascuno. Il libraio mi fa un ribasso di € 5,00 per ogni libretto.

Ho ottenuto un ribasso di € 5,00 ogni € 100,00: dico che ho ottenuto un ribasso del 5 per cento e lo scrivo 5%.

Questa quantità sempre uguale ogni 100 (5%, 6%, ecc.), cioè il tanto per cento, si dice tasso percentuale o ragione.

Problema. Un commerciante vende una macchina che gli costava € 25.700,00 con un guadagno del 6%. Qual è il suo guadagno?

• 1ª risoluzione:

€ (6 : 100) = € 0,06 percentuale di € 1 ossia guadagno € 1

€ (0,06 x 25.700) = € 1.542,00 guadagno totale

• 2ª risoluzione

(25.700 : 100) = 257,00 centinaia di euro

€ (6 x 257) = 1.542,00 guadagno totale

Regola. Per calcolare la parte percentuale di un numero, si divide tasso per 100 e si moltiplica il risultato per il numero dato;

oppure:

si divide il numero per cento e si moltiplica il tasso per il risultato ottenuto.

La regola del tre semplice

1° Proporzionalità diretta.

Un motociclista del reparto ha percorso Km. 210,780 in 3 ore. Quanti chilometri percorrerà in 8 ore, correndo alla stessa velocità?

Se in 3 ore ha percorso Km. 210,780

in un’ora percorrerà Km. (210,780 : 3) = Km. 70,260

e in 8 ore percorrerà Km. (70,260 x 8) = Km. 562,080.

2° Proporzionalità inversa.

Per sistemare il percorso di guerra della caserma 5 militari hanno impiegato 36 giorni.

Quanti giorni avrebbero impiegato 15 militari?

Se i militari hanno impiegato 36 giorni, uno di loro da solo avrebbe impiegato di più, cioè: (36 x 5) = giorni 180;

ma 15 operai avrebbero impiegato di meno, cioè: giorni (180 : 15) = giorni 12.